Phép vị tự là gì? Lý thuyết và cách giải bài tập phép vị tự như nào? Cùng Aiti-aptech.edu.vn tìm hiểu về chủ đề nay qua nội dung bài viết dưới đây nhé!
Nội dung chính bài viết
- Phép vị tự là gì? Định nghĩa phép vị tự
- Một số dạng toán về phép vị tự
- Một số ví dụ và cách giải bài toán về phép vị tự
Phép vị tự là gì? Định nghĩa phép vị tự
Định nghĩa phép vị tự là gì?
Cho điểm O và số (kneq 0). Phép biến hình mỗi điểm M thành M’ sao cho: (underset{OM}{rightarrow} = kunderset{OM’}{rightarrow}) được gọi là phép vị tự tâm O tỷ số k. Ký hiệu (V_{(O;k)})
Tính chất của phép vị tự
- Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỷ số k biến hai điểm M,N thành M’,N’ thì (underset{M’N’}{rightarrow} = kunderset{MN}{rightarrow})
- Tính chất 2: Phép vị tự tỷ số k:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm ấy.
- Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ấy, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng.
- Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, một góc thành một góc bằng với nó.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
Biểu thức tọa độ
Cho O(a;b) và phép vị tự (V_{(O,k)}).
(M(x;y)rightarrow M’ = V_{(O,k)}(M) = (x’;y’))
Tâm vị tự của hai đường tròn
- Với hai đường tròn bất kì luôn có một phép vị tự biến đường tròn này thành đường tròn kia, tâm của phép vị tự này được gọi là tâm vị tự của hai đường tròn.
- Cho hai đường tròn (I;R) và (I;R’)
- Nếu (Iequiv I’) thì các phép vị tự (V_{I;pmfrac{R}{R’}}) biến (I;R) thành (I;R’)
- Nếu (Ineq I’) và (Rneq R’) thì các phép vị tự (V_{(O;frac{R’}{R})}) và (V_{(O_{1};-frac{R’}{R})}) biến (I;R) thành (I’;R’). Ta gọi O là tâm vị tự ngoài còn (O_{1}) là tâm vị tự trong của hai đường tròn.
- Nếu (Ineq I’) và (Rneq R’) thì có (V_{(O_{1};-1)}) biến (I;R) thành (I;R’)
Một số dạng toán về phép vị tự
Bài toán 1: Xác định ảnh của một hình qua phép vị tự
Phương pháp:
Dùng định nghĩa, tính chất và biểu thức tọa độ của phép vị tự.
Bài toán 2: Tìm tâm vị tự của hai đường tròn
Phương pháp:
Sử dụng cách tìm tâm vị tự của hai đường tròn trong bài học.
Bài toán 3: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán dựng hình
Phương pháp:
Để dựng một hình (H) nào đó ta quy về dựng một số điểm ( đủ để xác định hình (H)) khi đó ta xem các điểm cần dựng đó là giao của hai đường trong đố một đường có sẵn và một đường là ảnh vị tự của một đường khác.
Bài toán 4: Sử dụng phép vị tự để giải các bài toán tập hợp điểm
Phương pháp:
Để tìm tập hợp điểm M ta có thể quy về tìm tập hợp điểm N và tìm một phép vị tự (V_{(I;k)}) nào đó sao cho (V_{(I;k)}(N) = M) suy ra quỹ tích điểm M là ảnh của quỹ tích N qua (V_{(I;k)})
Một số ví dụ và cách giải bài toán về phép vị tự
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD có các đáy CD = 3AB. Hãy xác định các phép vị tự biến (vec{AB}) thành (vec{DC}); biến (vec{AB}) thành (vec{CD})
Cách giải:
Gọi I là giao điểm của AB và CD, khi đó
(V_{(I;3)} (vec{AB}) = vec{DC})
Gọi O là giao điểm của AC và BD, khi đó:
(V_{(O;-3)} (vec{AB}) = vec{CD})
Ví dụ 2: Cho điểm A và một đường thẳng d cố định. M là điểm di động trên d. Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng AM
Cách giải:
Gọi P là trung điểm của đoạn AM, ta có: (V_{(A;frac{1}{2})} (M) = P)
Tập hợp các điểm M là đường thẳng d, vậy tập hợp các điểm P là đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua (V_{(A;frac{1}{2})})
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(4;5) và I(3;2). Tìm ảnh của tâm A qua phép vị tự tâm I tỷ số k = 3
Cách giải:
Gọi A’(x;y) là ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I tỷ số k = 3
Ta có:
(vec{IA’} = 3vec{IA} Leftrightarrow left{begin{matrix} x-x_{I} = 3(x_{A} – x_{I}) y-y_{I} = 3(y_{A} – y_{I}) end{matrix}right.)
(Leftrightarrow left{begin{matrix} x-3 = 3(4 – 3) y+2 = 3(5 + 2) end{matrix}right. Rightarrow left{begin{matrix} x = 6 y = 19 end{matrix}right.)
(Leftrightarrow A'(6;19))
Vậy ảnh của điểm A qua phép vị tự tâm I, tỷ số k = 3 là A’(6;19)
Ví dụ 4: Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x-5y+3=0 qua phép vị tự tâm O tỷ số k = -3.
Cách giải:
Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng d:2x-5y+3=0.
Gọi M’(x’;y’) là ảnh của điểm M qua phép vị tự tâm O tỷ số k = 3
Ta có:
(vec{OM’} = -3vec{OM} Rightarrow left{begin{matrix} x’ = -3x y’ = -3y end{matrix}right.)
(Leftrightarrow left{begin{matrix} x = -frac{x’}{3} y = -frac{y’}{3} end{matrix}right. Rightarrow M(-frac{x’}{3};-frac{y’}{3}))
Do điểm (M(-frac{x’}{3};-frac{y’}{3}) in d: 2x-5y+3=0)
(Leftrightarrow 2(-frac{x’}{3}) – 5(-frac{y’}{3}) + 3=0 Leftrightarrow -2x’+5y’+9=0 Leftrightarrow M’in d’:-2x+5y+9=0)
Vậy phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm O tỷ số k = -3 là: -2x+5y+9=0
Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề phép vị tự. Hy vọng đã cung cấp cho các bạn những thông tin bổ ích phục vụ cho quá trình tìm tòi và nghiên cứu của bản thân về kiến thức về phép vị tự. Chúc bạn luôn học tốt!
Tác giả: Việt Phương
