Khác với hệ thức lượng trong tam giác vuông đã được học ở lớp 9, chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác thường lớp 10 sẽ có sự đa dạng và khó hơn. Chúng ta hãy cùng Aiti-aptech.edu.vn đi tìm hiểu những kiến thức lý thuyết hệ thức lượng trong tam giác, cũng như cách giải các bài tập ứng dụng liên quan đến phần kiến thức toán học quan trọng này nhé!
Nội dung chính bài viết
Các hệ thức lượng trong tam giác thường
Định lý cosin
Định lý này được phát biểu như sau: Trong một tam giác bất kỳ, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cos của góc xen giữa chúng.
Xét tam giác ABC, gọi AB=c; AC=b; BC=a, ta có:
(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cosA)
(b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac.cosB)
(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab.cosC)
Từ đó suy ra hệ quả: Trong tam giác ABC, luôn có:
(cos A=frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc})
(cos B=frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac})
(cos C=frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab})
Định lý Sin
Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:
(frac{a}{sinA}=frac{b}{sinB}=frac{c}{sinC}=2R)
Định lý về đường trung tuyến
Tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi (m_{a}, m_{b}, m_{c}) lần lượt là các đường trung tuyến ứng vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác.
Khi đó ta có:
(m_{a}^{2}=frac{b^{2}+c^{2}}{2}-frac{a^{2}}{4})
(m_{b}^{2}=frac{a^{2}+c^{2}}{2}-frac{b^{2}}{4})
(m_{c}^{2}=frac{b^{2}+a^{2}}{2}-frac{c^{2}}{4})
Tính diện tích tam giác
Trong tam giác ABC, kí hiệu:
(h_{a}, h_{b}, h_{c}) lần lượt là các đường cao được vẽ từ các đỉnh A, B, C, ứng với các cạnh a, b, c.
R, r lần lượt là đường kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác.
(p=frac{1}{2}left ( a+b+c right )) là công thức tính nửa chu vi của tam giác.
Từ đó ta có các công thức tính diện tích tam giác ABC như sau:
(S=frac{1}{2}ah_{a}=frac{1}{2}bh_{b}=frac{1}{2}ch_{c})
(S=frac{1}{2}absinA=frac{1}{2}acsinB=frac{1}{2}bcsinA)
(S=frac{abc}{4R})
(S=pr)
(S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)})
Cách giải tam giác và ứng dụng
Từ hệ thức lượng trong tam giác, muốn giải các dạng toán về tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.
Các bài toán về giải tam giác
Sau đây là 3 bài toán cơ bản:
- Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.
Đối với dạng toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lạ.i
- Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa.
Đối với dạng toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba.
- Giải tam giác khi biết ba cạnh.
Đối với dạng toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc.
Trên đây là tổng hợp các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác thường, các dạng bài tập cũng như ứng dụng. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ cho quá trình học tập và trau dồi kiến thức của bản thân. Nếu còn băn khoăn gì về chủ đề hệ thức lượng trong tam giác, bạn đừng quên để lại nhận xét ở phía dưới nhé!
Tác giả: Việt Phương