Tam giác đồng dạng là gì? Cách chứng minh tam giác đồng dạng như nào? Lý thuyết, bài tập và cách giải các dạng toán về hai tam giác đồng dạng? Trong phạm vi bài viết dưới đây, cùng Aiti-aptech.edu.vn tìm hiểu về chủ đề trên nhé!
Nội dung chính bài viết
Lý thuyết hai tam giác đồng dạng
Định nghĩa hai tam giác đồng dạng
Hai tam giác đồng dạng là gì? “Đồng dạng” là từ Hán Việt, có nghĩa là giống nhau. Hai tam giác đồng dạng với nhau khi chúng có các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Tam giác ABC và tam giác A’B’C’ gọi là đồng dạng với nhau nếu: (hat{A}=hat{A’}; hat{B}=hat{B’};hat{C}=hat{C’})
và (frac{A’B’}{AB}=frac{B’C’}{BC}=frac{A’C’}{AC})
Kí hiệu hai tam giác đồng dạng: (bigtriangleup ABC sim bigtriangleup A’B’C’)
Tỉ số: (frac{A’B’}{AB}=frac{B’C’}{BC}=frac{A’C’}{AC}=k) được gọi là tỉ số đồng dạng.
Các trường hợp đồng dạng của tam giác thường
- Trường hợp 1: Ba cạnh tương ứng tỉ lệ nhau (c – c – c).
Xét hai tam giác ABC và DEF có:
(frac{AB}{DE}=frac{AC}{DF}=frac{BC}{EF})
Suy ra: (bigtriangleup ABC sim bigtriangleup DEF) (c – c – c)
- Trường hợp 2: Hai cạnh tương ứng tỉ lệ nhau – góc xen giữa hai cạnh bằng nhau (c – g – c).
Xét hai tam giác ABC và DEF, ta có:
(frac{AB}{DE}=frac{AC}{DF})
(hat{A}=hat{D})
Suy ra: (bigtriangleup ABC sim bigtriangleup DEF) (c – g – c)
- Trường hợp 3: Hai góc tương ứng bằng nhau (g – g)
Xét hai tam giác ABC và DEF có:
(hat{A}=hat{D})
(hat{B}=hat{E})
Suy ra: (bigtriangleup ABC sim bigtriangleup DEF) (g – g)
Các định lý đồng dạng của tam giác vuông
- Định lý 1: Cạnh huyền – Cạnh góc vuông
Nếu cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với cạnh huyền và cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Định lý 2: Hai cạnh góc vuông
Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này tỉ lệ với hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
- Định lý 3: Góc của hai tam giác vuông
Nếu góc nhọn của tam giác vuông này bằng góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
Cách chứng minh hai tam giác đồng dạng
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Hệ thức
Bài toán: Cho (bigtriangleup ABC (AB<AC)), AD là đường phân giác trong. Miền ngoài (bigtriangleup) vẽ tia Cx sao cho (widehat{BCx}=widehat{BAD}). Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng:
- a) (bigtriangleup ADB sim bigtriangleup CDI)
- b) (frac{AD}{AC}=frac{AB}{AI})
- c) AD2 = AB.AC – BD.DC
Cách giải:
a) Xét (bigtriangleup ADB) và (bigtriangleup CDI) , ta có:
(widehat{BCx}=widehat{BAD}) (gt)
(widehat{D_{1}}=widehat{D_{2}}) (đối đỉnh)
Suy ra: (bigtriangleup ADB sim bigtriangleup CDI)
b) Xét (bigtriangleup ABD) và (bigtriangleup AIC) , ta có :
(widehat{B}=widehat{I}) ((bigtriangleup ADB sim bigtriangleup CDI))
(widehat{A_{1}}=widehat{A_{2}})(AD là phân giác)
Suy ra (bigtriangleup ABDsim bigtriangleup AIC)
Suy ra (frac{AD}{AC}=frac{AB}{AI}), suy ra AD.AI = AB.AC (1)
c) Có (frac{AD}{CD}=frac{BD}{BI}) (bigtriangleup ADB sim bigtriangleup CDI)
Suy ra: AD.DI = BD.CD (2)
từ (1) và (2) :
Suy ra: AB.AC – BD.CD = AD.AI – AD.DI = AD(AI – DI ) = AD.AD = AD2
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – Định lí Talet và Hai đường thẳng song song
Bài toán:
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD và CE. Kẻ các đường cao DF và EG của tam giác ADE. Chứng minh:
- a) (bigtriangleup ADB sim bigtriangleup AEG)
- b) AD.AE = AB.AG = AC.AF
- c) FG // BC
Cách giải:
a) Xét tam giác ABD và AEG, ta có :
BD AC (BD là đường cao)
EG AC (EG là đường cao)
Suy ra: BD // EG
Suy ra: (bigtriangleup ADB sim bigtriangleup AEG)
b) Từ a) Suy ra(frac{AB}{AE}=frac{AD}{AG})
(Rightarrow) AD.AE = AB.AG (1)
CM tương tự, ta được : AD.AE = AC.AF (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
AD.AE = AB.AG = AC.AF
c) Xét tam giác ABC, ta có :
AB.AG = AC.AF (cmb) suy ra: (frac{AB}{AF}=frac{AC}{AG})
Suy ra: FG // BC (định lí Talet đảo)
Chứng minh hai tam giác đồng dạng – góc tương ứng bằng nhau
Bài toán: Cho tam giác ABC có các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Chứng minh:
- a) Tam giác HBE và tam giác HCE đồng dạng.
- b) (bigtriangleup HEDsim bigtriangleup HBC)
và (widehat{HDE}=widehat{HAE})
Cách giải:
a) Xét tam giác HBE và tam giác HCD, ta có :
(widehat{BEH}=widehat{CDH}=90^{circ}) (gt)
(widehat{H_{1}}=widehat{H_{2}}) (đối đỉnh)
Suy ra: (bigtriangleup HBEsim bigtriangleup HCD) (g – g)
b) Xét tam giác HED và HBC, ta có :
(frac{HE}{HD}=frac{HD}{HC}) ((bigtriangleup HBEsim bigtriangleup HCD))
Suy ra: (frac{HE}{HD}=frac{HD}{HC})
(widehat{EHD}=widehat{CHB})(đối đỉnh)
Suy ra (bigtriangleup HEDsim bigtriangleup HBC)(c – g – c)
Suy ra: (widehat{D_{1}}=widehat{C_{1}})(1)
mà còn có: đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt)
Do đó H là trực tâm, suy ra (AHperp BC) tại M.
Suy ra(widehat{A_{1}}+widehat{ABC}=90^{circ})
Mặt khác : (widehat{C_{1}}+widehat{ABC}=90^{circ})
Suy ra: (widehat{A_{1}}=widehat{C_{1}}) (2)
Từ (1) và (2) => (widehat{A_{1}}=widehat{D_{1}})
hay: (widehat{HDE}=widehat{HAE})
Trên đây là tổng hợp những kiến thức về chủ đề hai tam giác đồng dạng. Hy vọng đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích phục vụ cho quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
(Nguồn: www.youtube.com)
Tác giả: Việt Phương
