Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng

• Phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng
  • Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng (Delta)
  • Dạng 2: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (Delta)
  • Dạng 3: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng (Delta) tại điểm B.
• Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng
  • Dạng 1: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2})
  • Dạng 2: Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2}) và có tâm nằm trên đường thẳng d.

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng (Delta)

Khi đó bán kính (R = d (I, Delta ))

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳng  (Delta) x – 2y + 7 = 0

Giải: Ta có (d(I,Delta)=frac{|-1-4-7|}{sqrt{5}})

Phương trình đường tròn (C) có dạng ((x+1)^2+(y-2)^2=frac{4}{5})

Dạng 2: Đường tròn (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng (Delta)

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
• Tâm I của (C) thỏa mãn (left{begin{matrix} I epsilon d & d(I, Delta ) = IA & end{matrix}right.)
• Bán kính R = IA

Ví dụ 2: Cho điểm A(-1;0), B(1;2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.

Giải: Gọi I(x,y) là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện đề bài ta có:

IA = IB = r (Leftrightarrow)  ((x+1)^2+y^2= (x-1)^2+(y-2)^2) (1)

IA = d(I,d) (Leftrightarrow) (sqrt{(x+1)^2+y^2}=frac{|x-1-y|}{sqrt{2}}) (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được x = 0, y = 1

Vậy I(0,1) IA = r = (sqrt{2})

Phương trình đường tròn (C) có dạng (x^2+(y-1)^2 = 2)

Dạng 3: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng (Delta) tại điểm B.

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
• Viết phương trình đường thẳng (Delta ‘) đi qua B và (perp Delta)
• Xác định tâm I là giao điểm của d và (Delta ‘)
• Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6,0) và đi qua điểm B(9,9)

Giải: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C)

Vì (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6;0) nên (I epsilon d: x = 6)

Mặt khác B nằm trên đường tròn (C) nên I sẽ nằm trên trung trực của AB

Ta có phương trình trung trực AB: x + 3y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I(6;5), R = 5

Vậy phương trình đường tròn (C): ((x-6)^{2} + (y – 5)^{2} = 25)

>> Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập – Toán học 12

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng

Dạng 1: Đường tròn (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2})

• Tâm I của (C) thỏa mãn: (left{begin{matrix} d(I,Delta _{1}) = d(I,Delta _{2})& d(I,Delta _{1}) = IA & end{matrix}right.)
• Bán kính R = IA

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M (1,2).

Giải: Gọi I(x,y) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên (frac{|7x-7y-5|}{sqrt{5}} = frac{left | x + y + 13 right |}{sqrt{1}}) (1)

và (frac{|x+y+13|}{sqrt{2}}=sqrt{(1-x)^2+(2-y)^2}) (2)

Giải hệ gồm 2 phương trình (1) và (2) ta được

• TH1: x = 29, y = – 2 => R = IM = (20sqrt{2})

Phương trình đường tròn có dạng ((x-29)^2+(y+2)^2=800)

• TH2: x = – 6, y = 3 => R = (5sqrt{2})

Phương trình đường tròn có dạng ((x+6)^2+(y-2)^2=50)

Dạng 2: Đường tròn (C) tiếp xúc với hai đường thẳng (Delta _{1}, Delta _{2}) và có tâm nằm trên đường thẳng d.

• Tâm I của (C) thỏa mãn (left{begin{matrix} d(I,Delta _{1}) = d(I,Delta _{2})& Iepsilon d & end{matrix}right.)
• Bán kính (R = d(I,Delta _{1}))

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

Giải: Gọi I(a,b) là tâm của đường tròn (C)

Do (C) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra: |a| = |b|

Nhận xét: Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A(2, -1) thuộc phần tư thứ IV

=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0

Như vậy tọa độ tâm là I(a, -a), bán kính R = a, với a > 0

Ta có phương trình đường tròn (C) có dạng ((x-a)^2 + (y+a)^2 = a^2)

Do A (-2;1) thuộc đường tròn (C) nên thay tọa độ của A vào phương trình (C) ta được: ((2-a)^2 + (1+a)^2 = a^2)

Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a=5

• Với a = 1 ta có phương trình (C) ((x-1)^2 + (y+1)^2 = 1)
• Với a = 5 ta có phương trình (C) ((x-5)^2 + (y+5)^2 = 5^2)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn bạn, thấy hay thì đừng quên chia sẻ nhé <3

Tác giả: Việt Phương