Phương trình bậc hai một ẩn: Lý thuyết, Bài tập và Cách giải

• Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn
• Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
  • Công thức nghiệm tổng quát
  • Công thức nghiệm thu gọn
• Hệ thức Viet và ứng dụng
  • Ứng dụng 1
  • Ứng dụng 2
• Giải phương trình bậc hai một ẩn
  • Phương pháp phân tích thành nhân tử
  • Phương pháp phần bù bình phương
  • Phương trình bậc hai rút gọn
• Ví dụ giải phương trình bậc hai một ẩn

Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)).

Với (x) được gọi là ẩn; (a, b, c) là những số cho trước gọi là các hệ số.

Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Công thức nghiệm tổng quát

Phương trình bậc hai một ẩn (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0))

Với (Delta =b^{2}-4ac)

Ta có các nghiệm như sau:

• Nếu (Delta >0), phương trình có hai nghiệm phân biệt: (x_{1}=frac{-b+sqrt{Delta }}{2a})

(x_{2}=frac{-b-sqrt{Delta }}{2a})

• Nếu (Delta =0), phương trình có nghiệm kép (x_{1}=x_{2}=frac{-b}{2a})
• Nếu (Delta <0), phương trình đã cho vô nghiệm.

Công thức nghiệm thu gọn

Phương trình bậc hai một ẩn (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)) và (b=2b’)

(Delta’ =b’^{2}-ac)

Ta có các nghiệm như sau:

• Nếu (Delta’ >0), phương trình có hai nghiệm phân biệt: (x_{1}=frac{-b’+sqrt{Delta’ }}{a})

(x_{2}=frac{-b’-sqrt{Delta’ }}{a})

• Nếu (Delta’ =0), phương trình có nghiệm kép (x_{1}=x_{2}=frac{-b’}{a})
• Nếu (Delta’ <0), phương trình đã cho vô nghiệm.

Hệ thức Viet và ứng dụng

Nếu là hai nghiệm của phương trình  (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)) thì ta có:

(left{begin{matrix} x_{1} +x_{2}& = &frac{-b}{a} x_{1}x_{2}& = & frac{c}{a} end{matrix}right.)

Ứng dụng 1

Tìm hai số (u) và (v)

Biết (u+v=S, uv=P), giải phương trình:

(x^{2}-Sx+P=0)

Điều kiện để có u và v là (S^{2}-4Pgeq 0)

Ứng dụng 2

• Nếu (a+b+c=0) thì phương trình (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)) sẽ có hai nghiệm:

(x_{1}=1;x_{2}=frac{c}{a})

• Nếu (a-b+c=0)

thì phương trình (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0)) sẽ có hai nghiệm:

(x_{1}=-1;x_{2}=frac{-c}{a})

Giải phương trình bậc hai một ẩn

Có khá nhiều cách giúp ta thực hiện giải các bài toán về phương trình bậc hai một ẩn  (ax^{2}+bx+c=0)

Trong đó, các cách giải phổ biến là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm như trên, hoặc sử dụng đồ thị,…

Phương pháp phân tích thành nhân tử

Phương trình bậc hai (ax^{2}+bx+c=0) ((aneq 0))  có thể được viết thành phương trình ((dx+e)(px+q)=0)

Phương trình sẽ thỏa mãn nếu(dx+e=0) hoặc (px+q=0)

Sau đó tiến hành giải hai phương trình bậc nhất trên sẽ tìm được nghiệm của phương trình.

Phương pháp phần bù bình phương

Phương trình bậc hai một ẩn (ax^{2}+bx+c=0)

• Bước 1: Chia hai vế cho (a)
• Bước 2: Trừ đi mỗi vế một lượng bằng (frac{c}{a})
• Bước 3:Thêm bình phương của một nửa (frac{b}{a}), hệ số của x  vào hai vế, khi đó vế trái sẽ trở thành dạng bình phương đầy đủ.
• Bước 4: Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải (nếu cần).
• Bước 5: Khai căn hai vế được hai phương trình bậc nhất.
• Bước 6: Giải hai phương trình bậc nhất.

Sử dụng đẳng thức (x^{2}+2mx+m^{2}=(x+m)^{2})

Phương trình bậc hai rút gọn

Rút gọn phương trình bậc hai để cho hệ số lớn nhất bằng một đôi khi là cách tiện lợi.

Phương pháp là chia cả hai vế cho a (luôn thực hiện được bởi (aneq0)), ta sẽ được phương trình bậc hai rút gọn:

(x^{2}+Px+Q=0)

Trong đó: (p=frac{b}{a})

   (q=frac{c}{a})

Công thức nghiệm của phương trình này là:

(x=frac{1}{2}(-ppmsqrt{p^{2}-4q}))

Ví dụ giải phương trình bậc hai một ẩn

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn như nào? Đây là câu hỏi của rất nhiều em học sinh. Trong các bài viết tiếp theo, Aiti-aptech.edu.vn sẽ giới thiệu đến các bạn về các ví dụ giải phương trình bậc hai một ẩn.

Trên đây là những kiến thức liên quan đến chủ đề phương trình bậc hai một ẩn cùng một số nội dung liên quan. Hy vọng những thông tin trên đây sẽ hữu ích cho bạn trong việc tìm kiếm về chủ đề phương trình bậc hai một ẩn. Chúc bạn luôn học tốt!

Tác giả: Việt Phương