Khảo sát sự biến thiên của hàm số và Các dạng bài tập sự biến thiên của hàm số

• Khảo sát sự biến thiên của hàm số
  • Định nghĩa sự biến thiên hàm số
  • Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
  • Sự biến thiên của hàm số bậc 2
  • Phương pháp xét tính biến thiên
• Các dạng bài toán về khảo sát sự biến thiên của hàm số
  • Dạng 1: Xét sự biến thiên của hàm số
  • Dạng 2: Hàm số đồng biến, Nghịch biến trên một khoảng

Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Định nghĩa sự biến thiên hàm số

Cho hàm số y=fx xác định trên ((a,b))

(x1, x2epsilon(a,b))

• (x1<x2Rightarrow f(x1)<f(x2)) thì hàm số Đồng biến trên ((a,b))
• (x1<x2Rightarrow f(x1)>f(x2)) thì hàm số Nghịch biến trên ((a,b))

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

* Định lý 1:

• (f'(x)>0forall xepsilon(a,b)Rightarrow) hàm số Đồng biến trên  ((a,b))

• (f'(x)<0forall xepsilon(a,b)Rightarrow) hàm số Nghịch biến trên  ((a,b))

*Định lý 2

• (f(x)) Nghịch biến trên ((a,b)) khi (f'(x)leq0forall xepsilon(a,b)) và  (f'(x)=0) tại hữu hạn điểm
• f là hàm hằng trên ((a,b)) khi (f'(x)=0forall xepsilon(a,b))

Sự biến thiên của hàm số bậc 2

Khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc 2

Phương pháp xét tính biến thiên

• Bước 1: Tìm tập xác định, đạo hàm (y’)
• Bước 2: Cho (y’=0), suy ra các nghiệm
• Bước 3: Lập Bảng biến thiên
• Bước 4: Suy ra Kết luận về tính Đồng biến, Nghịch biến của hàm số

Các dạng bài toán về khảo sát sự biến thiên của hàm số

Dạng 1: Xét sự biến thiên của hàm số

Phương pháp giải:

• Tìm tập xác định của hàm số .
• Tìm đạo hàm và xét dấu đạo hàm.
• Xét tính Đồng biến, Nghịch biến của hàm số theo Định lý 2

Ví dụ: Tìm m để hàm số (y=frac{1}{3}x^{3}+mx^{2}+(m+6)x-(2m+1)) đồng biến trên (R)

Giải:

• TXĐ: (D=R)
• Đạo hàm: (y’= x^{2}+3mx+m+6)
• Hàm số đồng biến trên (RLeftrightarrow y’geq0 forall x epsilon R)            

(y’= x^{2}+3mx+m+6geq0)
suy ra (Deltaleq0Leftrightarrow m^{2}-m-6leq0Leftrightarrow -2leq m leq3)

Kết luận: Với (mepsilon[-2;3]) thì hàm số đã cho Đồng biến trên (R)

Dạng 2: Hàm số đồng biến, Nghịch biến trên một khoảng

Phương pháp giải:

• Sử dụng các định lí nhận biết tính tăng giảm của hàm số trên một khoảng
• Thường dẫn đến một bài toán về tam thức bậc hai
• Cần lưu ý việc so sánh một số (alpha) với hai nghiệm của (f(x)=ax^{2}+bx+c (aneq0))

(af(alpha)<0Leftrightarrow x1<alpha<x2)

(alpha<x1<x2Leftrightarrow left{begin{matrix} af(alpha) &> & 0 Delta& > &0 frac{S}{2}&> & alpha end{matrix}right.)

(x1<x2<alphaLeftrightarrowleft{begin{matrix} af(alpha) & > &0 Delta& > &0 frac{S}{2}&< & alpha end{matrix}right.)
Hy vọng bài viết về sự biến thiên của hàm số cũng như các dạng bài tập xét tính biến thiên lớp 10 đã giúp bạn củng cố kiến thức bổ ích và học tập tốt hơn! Hãy cùng để lại nhận xét bên dưới để chúng ta cùng thảo luận nhiều hơn các dạng toán khảo sát sự biến thiên của hàm số nhé!

Tác giả: Việt Phương