Hoán vị là gì? Quy tắc đếm hoán vị, chỉnh vị, tổ hợp

• Hoán vị là gì? Các dạng hoán vị
  • Khái niệm hoán vị
  • Các dạng hoán vị
    • Hoán vị vòng
    • Hoán vị lặp
    • Hoán vị đồng nhất
• Quy tắc đếm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
  • Hoán vị
  • Chỉnh hợp
  • Tổ hợp
• Phương pháp giải bài tập hoán vị

Hoán vị là gì? Các dạng hoán vị

Khái niệm hoán vị

Hoán vị là gì? Đây là thắc mắc của nhiều học sinh hiện nay. Có thể hiểu, hoán vị là một dãy theo thứ tự chứa mỗi phần tử của một tập hợp một và các phần tử đó chỉ xuất hiện một lần duy nhất. Việc sắp xếp các phần tử của dãy theo một trật tự xác định là điểm khác nhau cơ bản giữa hoán vị và tập hợp.

Định nghĩa tổng quát như sau: Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt (n ≥ 0). Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào đó được gọi là một hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử được ký hiệu là Pn.

Pn = n! = 1.2…n và ta quy ước: 0! = 1.

Các dạng hoán vị

Hoán vị vòng

Bên cạnh hoán vị là gì, hoán vị vòng hay còn gọi là hoán vị vòng quanh là gì? Đây là một khái niệm cần quan tâm. Có thể hiểu, hoán vị vòng là loại hoán vị có các phần tử tạo thành đúng 1 vòng với số phần từ là k>1 và k là số nguyên.

Công thức tính hoán vị vòng: Q(n)= (n-1)!

Hoán vị lặp

Định nghĩa hoán vị lặp là một phần mà nhiều bạn học sinh hay nhầm lẫn. Vậy hoán vị lặp là gì?

Hiểu một cách tổng quát, khi cho n đối tượng trong đó có ni đối tượng loại i  giống hệt nhau (i =1,2,…,k ; n1+ n2,…+ nk= n).

Mỗi cách sắp xếp có thứ tự n đối tượng đã cho gọi là một hoán vị lặp của n.

Công thức tính: n!n1!n2!…nk!

Hoán vị đồng nhất

Hoán vị đồng nhất là hoán vị “đổi chỗ” phần tử thứ nhất với phần tử thứ nhất, phần tử thứ hai với phần tử thứ hai,…, nghĩa là trên thực tế không đổi chỗ các phần tử.

Quy tắc đếm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Cùng với hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp cũng là một phần quan trọng và có liên quan tới hoán vị. Vậy quy tắc đếm của chúng là gì?

Hoán vị

Công thức: Với tập hợp gồm n phần tử khác nhau, ta thành lập một hoán vị của r phần tử từ tập hợp này:

• Chọn phần tử đầu tiên, có n cách;
• Chọn phần tử thứ hai, có n-1 cách;
• Chọn phần tử thứ r, có r-1 cách.

Với r=n, ta có công thức tính số các hoán vị khác nhau của n phần tử là: P(n) = n!

Với r<n ta có công thức: P(n,r)= n!(n-r)!

Chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử; n⩾1.

Một chỉnh hợp chập k các phần tử của A là một cách sắp xếp k phần tử khác nhau của A; với 1⩽k⩽n và k∈N

Công thức tính: n!k!(n-k)!

Tổ hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử; n>0. Một tổ hợp chập k các phần tử của A là một tập hợp con của A có k phần tử ; 0 ⩽k⩽n ; k∈N.

Công thức tính: n!(n-k)!

Phương pháp giải bài tập hoán vị

Bài tập hoán vị là một dạng bài quan trọng trong chuyên đề tổ hợp chỉnh hợp xác suất. Để giải các bài toán dạng này, trước tiên ta cần đọc kỹ yêu cầu đề bài sau đó xác định bài yêu cầu gì, cho dữ liệu nào và xác định đây là loại hoán vị nào.

Sau đó, xác định công thức vào bài làm thích hợp với từng giai đoạn giải toán. Đáp án của bài toán là tổng kết của tất cả các trường hợp.

Chúng ta hãy cùng tìm hiểu một ví dụ để hiểu rõ hơn.

Ví dụ: Cần sắp xếp 3 học sinh nữ và 5 học sinh nam thành một hàng dọc.

Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu học sinh đứng đầu hàng là học sinh nữ và học sinh cuối hàng là học sinh nam ?

Cách giải:

Có 3 học sinh nữa và 5 học sinh nam, tức là có tổng 8 học sinh tất cả.

– Để xếp học sinh nữ đứng đầu hàng, ta có 3 cách

– Để xếp học sinh nam đứng cuối hàng, ta có 5 cách

– Số cách xếp 6 học sinh còn lại: 6!.

Vậy tổng số cách xếp 8 bạn học sinh theo yêu cầu bài toán là 3.5.6!

Để hiểu hơn, chúng ta có thể tham khảo các bài toán tính tổ hợp online để nắm rõ công thức và cách áp dụng hơn nữa nhé.

Vậy là chúng ta đã tìm hiểu xong hoán vị là gì, các dạng hoán vị và cách đếm hoán vị. Đây là một dạng toán đòi hỏi chúng ta phải nhớ và hiểu công thức. Hãy truy cập Aiti-aptech.edu.vn để khám phá nhiều kiến thức hay và bổ ích hơn nữa nhé. Nếu có đóng góp gì cho bài viết hoán vị là gì, mời bạn để lại nhận xét bên dưới để chúng mình cùng trao đổi thêm nhé!

Tác giả: Việt Phương