Định nghĩa cấp số nhân, cấp số nhân lùi vô hạn và Các dạng bài tập

• Định nghĩa cấp số nhân là gì?
  • Công bội q 
  • Số hạng tổng quát
  • Tổng n số hạng đầu tiên
• Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?
  • Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa cấp số nhân là gì?

Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn) trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.

Nếu ((u_{n})) là cấp số nhân với công bội q, thì ta có công thức truy hồi:

(u_{n+1}=u_{n}q)

với (nin N^{*})

Ví dụ 1: Dãy số 2, 4, 8, 16… là một cấp số nhân với công bội q = 2.

Công bội q 

Công bội q của cấp số nhân ((u_{1})) được tính bằng công thức:

(q=frac{u_{n+1}}{u_{n}})

Ví dụ 4:  Cho cấp số nhân ((u_{n})) có  ((u_{1})) =2 ,  ((u_{2})) = 4. Tính công bội q.

Lời giải: Áp dụng công thức tính công bội q ta có:

(q=frac{u_{2}}{u_{1}}=frac{4}{2}=2)

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu ((u_{1})) và công bội q thì số hạng tổng quát ((u_{n})) được tính bởi công thức:

(u_{n}=u_{1}.q^{n-1})ới (ngeq 2)

Ví dụ 2: Cho cấp số nhân  ((u_{n})) với  ((u_{1})) = 3, (q=frac{-1}{2}). Tính  ((u_{7}))

Giải: (u_{7}=u_{1}.q^{7-1})=3.((frac{-1}{2})^{6}) = (frac{3}{64})

Tổng n số hạng đầu tiên

(S_{n} = u_{1} + u_{2} + … + u_{n} = u_{1}frac{1 – q^{n}}{1 – q} (qneq 1))

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là (S_{n} = n.u_{1})

Ví dụ 3: Cho cấp số nhân ((u_{n})) biết ((u_{1})) = 2, ((u_{3})) = 18. Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên.

Giải: Ta có (u_{3}=q^{2}.u_{1}=2.q^{2}=18)

Suy ra q = 3 hoặc q= -3

• Với q =3 ta có (S_{10}=frac{10_{1}(1-3^10)}{1-3}) = 59048
• Với q=-3 ta có (S_{10}=frac{10_{1}(1-3^10)}{1+3}) = -29524

Tìm hiểu định nghĩa cấp số nhân

Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

((u_{n})) có công bội q, |q|<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Ví dụ 4: (frac{1}{2}, frac{1}{4}, frac{1}{8}, frac{1}{16}),… là một cấp số nhân lùi vô hạn với công bội (q=frac{1}{2})

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn ((u_{n})) có công bội q. Khi đó ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn S bằng:

(S=frac{u_{1}}{1-q}) với |q| < 1

Ví dụ 5: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ((u_{n})) với (u_{n}=frac{1}{3^{n}})

Lời giải: Ta có (u_{1}=frac{1}{3}), (u_{2}=frac{1}{9}).

Suy ra (q=frac{1}{3}).

Áp dụng công thức tính ta có:

(S=frac{u_{1}}{1-q})

(S=frac{frac{1}{3}}{1-frac{1}{3}}=frac{1}{2})

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về định nghĩa cấp số nhân là gì. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới. Cảm ơn các bạn, đừng quên chia sẻ nếu thấy hay nhé.

Xem thêm:

• Dãy số cấp số cộng cấp số nhân – Lý thuyết và Cách giải các dạng bài tập
• Giới hạn của hàm số là gì? Lý thuyết, Bài tập và Cách giải
• Giới hạn của dãy số lớp 11: Lý thuyết, Bài tập và Các dạng toán 

Tác giả: Việt Phương